Question

数学难题求解

今年加拿大阿尔伯塔省数学竞赛最后两道题，我知道答案，但是不知道做法，所以请给出做法，谢谢。

倒数第二题。
m和n两个正整数。
已知，
m+13n是11的倍数
m+11n是13的倍数
求，m+n的最小值

最后一道题。
有一个机器人工厂，建厂的时候，有a个A型机器人，b个B型机器人。（a>b）每个月的第一天，每个A型机器人会造出7个B型机器人，每个B型机器人会造出7个A型机器人。每个月的第二天，新的B型机器人会和老的B型机器人打架。新的会把老的全杀死，同时，要死掉和老的同样数量的新的B型机器人。一年之后，厂中有46,875,000,000个A型机器人，15,625,000,000个B型机器人。求a-b的值（如果有多种取值情况，请全部写出。如果是一段范围，也请写出）。

Answer 1

1）
令m+13n=11a, a=n+(2n+m)/11 ，a为正整数
m+11n=13b, b=n+(m-2n)/13，b为正整数
因此2n+m=11c, m-2n=13d，c为正整数，d为整数
相加得：m=(11c+13d)/2=5c+6d+(c+d)/2
相减得：n=(11c-13d)/4=3c-3d-(c+d)/4
因此有c+d=4e, 即d=4e-c， e为整数
m=5c+6(4e-c)+2e=26e-c>0, 得：c<26e
n=3c-3(4e-c)-e=-13e+6c>0, 得：c>13e/6
得： 13e/6<c<26e， 由于c为正整数，所以e也为正整数。
m+n=13e+5c
e最小取1, 13/6<c<26, c最小取3
此时最小的m+n=28
此时m=26e-c=23, n=-13e+6c=5

2)设xn为第n个月A 型机器人，yn为第n个月B型机器人
x0=a, y0=b
x1=x1+7y0=a+7b, y1=7x0-y0=7a-b
x2=x1+7y1=50a, y2=7x1-y1=50b
x3=x2+7y2=50a+350b=50(a+7b), y3=7x2-y2=350a-50b=50(7a-b)
....
x(n+1)=xn+7yn, y(n+1)=7xn-yn
将y(n+1), yn代入后式，得：
[x(n+2)-x(n+1)]/7=7xn-[x(n+1)-xn]/7
化得：x(n+2)=50xn
所以x(2n)=50^nx0=50^n a,
x(2n+1)=50^n x1=50^n (a+7b)
yn=[x(n+1)-xn]/7
y(2n)=[50^n(a+7b)-50^n*a]/7=50^n*b
y(2n+1)=7x(2n)-y(2n)=50^n(7a-b)
一年后，相当于n=12
因此
x12=50^6*a=46,875,000,000,得：a=3
y12=50^6*b=15,625,000,000,得：b=1

Answer 2

第一题
m+13n=11s
m+11n=13t
把m,n用s,t表示出来，根据m,n是正整数，得到s,t的两个约束条件（另st也是正整数），共4个现行约束条件。
把m+n用st表示出来，即是目标函数。
原题划归为整数线性规划问题。

第二题
用矩阵表示递推公式试试

Answer 3

第一题是不是144，是的话我给你写我的思路，不是的话 我就不献丑了。
第二题我也不会

追问

第一题答案是28，m得23，n得5。
不过把你的思路写出来吧。因为我的答案印象中是30多。所以应该看看不同的思路。这样可以学习。哪怕是 不对的思路

Answer 4

写出递推公式，求解

追问

第二个题？