Question

积分等式问题，求大佬解释。

如图，这俩问题，求大佬详细解释一下。

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Answer 1

例9.1（1）作变量代换 x = -t ， 则 x = -a 时， t = a，
∫<-a, 0>f(x)g(x)dx = ∫<a, 0>f(-t)g(-t)(-dt) （再交换积分上下限）
= - ∫<a, 0>f(-t)g(-t)dt =∫<0, a>f(-t)g(-t)dt
（定积分与积分变量无关，将 t 换为 x）
=∫<0, a>f(-x)g(-x)dx
（2）∫<-π/2, π/2>|sinx|arctan(e^x)dx
= ∫<-π/2, 0>|sinx|arctan(e^x)dx + ∫<0, π/2>|sinx|arctan(e^x)dx （前者令 x = -t）
= ∫<π/2, 0>|sint|arctan[e^(-t)](-dt) + ∫<0, π/2>|sinx|arctan(e^x)dx
（前者再交换积分上下限， 然后将 t 换为 x）
= ∫<0，π/2>|sinx|arctan[e^(-x)]dx + ∫<0, π/2>|sinx|arctan(e^x)dx
= ∫<0，π/2>|sinx| {arctan[e^(-x)]+arctan(e^x)}dx
= ∫<0，π/2>|sinx| (π/2)dx = (π/2)∫<0，π/2>sinxdx = π/2

Answer 2

这照的有点模糊，，，
1，上下限颠倒了，跟负号抵消咯
2，这是恒等式，x可以取任意值，当然也可以取0

Answer 3

交换积分上下限，积分值相反

Answer 4

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，也为解决微分方程等方面的问题提供了 富有成效的理论工具。主要有杨不等式，施瓦兹不等式，闵可夫斯基不等式，延森不等式等。

中文名积分不等式

外文名integral inequality

举例杨不等式、施瓦兹不等式等

类型数学术语

隶属微积分学