Question

证明， 当x＞1时，e的x次方＞ex(应该是用拉格朗日中值定理吧)

Answer 1

证：

令f(x)=e^x-ex

对f(x)求导得

f '(x)=e^x-e

因为x＞1

所以f '(x)=e^x-e＞e¹-e=0

故f(x)在x＞1上是增函数

故f(x)＞f(1)=e¹-e×1=0

即e^x-ex＞0

e^x＞ex

证毕。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

扩展资料：

只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。

注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

参考资料来源：百度百科——拉格朗日中值定理

Answer 2

证：
令f(x)=e^x-ex
对f(x)求导得
f '(x)=e^x-e
因为x＞1
所以f '(x)=e^x-e＞e¹-e=0
故f(x)在x＞1上是增函数
故f(x)＞f(1)=e¹-e×1=0
即e^x-ex＞0
e^x＞ex

证毕。

追问

这种方法我会 我想用微分中值定理来证

追答

证：
设f(x)=e^x-ex，那么f(x)在[1，+∞)上连续，在(1，+∞)上可导
故存在a，1＜a＜x
使得 f(x)-f(1)=f '(a)(x-1) 【微分中值定理】
即 e^x-ex=(e^a-e)(x-1)＞0
故e^x＞ex

Answer 3

令f（x）=e^x-ex
求导数g（x）=e^x-e为增函数
g（1）=0
所以x＞1，g（x）＞0
f（x）为增函数
f（x）＞f（1）=0
e^x-ex＞0
e^x＞ex
命题得证

不适合用拉格朗日定理来证明，因为定义域是无穷区间。

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件：

　　(1)在[a,b]连续

　　(2)在(a,b)可导

　一般要闭区间才适合。

Answer 4

求导就行了.
令f(x)=e^x-ex,x≥1.
当x>1时,f'(x)=e^x-e>0.f(x)单调递增
则有f(x)>f(1)=0,x>1
即e^x>ex