Question

数学模型与数值模型

Answer 1

1.数学模型

描述含水系统地下水渗流的数学模型为：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

式中：H为含水层水位（m）；H₀为含水层初始水位（m）；T为含水层的导水系数（m²/d）；μ对潜水含水层为给水度，对承压含水层为贮水系数；w为降雨入渗补给强度（m/d）；Q为水井开采量（m³/d）；n为边界外法线；G为计算的区域；Γ₂为第二类边界。

2.计算区域的剖分与时间步长

选用三角网格有限差分法求解数学模型。将模拟计算的区域剖分为618个单元，338个节点，其中内节点282个，边界节点56个。剖分时使各种参数分区界线及地下水动态观测孔和开采井全部落在节点上；对新密市、矿务局以及各矿区等开采较大、水力梯度大的地区，加密网格剖分，水力梯度小的地方，网格应放疏，见图7-5。

图7-5 模拟计算剖分图

考虑到大多数水文要素数据均按月统计，所以选取的计算时间步长为月，将所有的源、汇项及边界的数据均逐月整理成月平均值。

3.数值模拟模型

含水层第i节点均衡域的渗流差分方程为：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

式中：f_β为属于第i均衡域的第β三角单元的小四边形面积：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

Δ_β是以第i接点为公共的β三角形单元的面积：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

以下为几何量：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

下标i、j、m分别为三角形单元以逆时针排序的三个节点编号，k为时阶。

按同样的形式写出一个庞大的代数方程组，这就是计算区域的含水层渗流系统的数值模拟模型。该数值模型的矩阵形式为：

华北煤田排水供水环保结合优化管理

式中：［A］为导水矩阵；［D］为贮水矩阵；H_t为已知水头向量；H_t+1为待求水头向量；F为已知常数向量。

4.数值模型的调试和识别

为了使所建数值模型能对客观水文地质原型达到仿真，需对模型进行调试和识别。将模型所需全部数据输入模拟计算程序，用多次反演试算法试算，不断调整模型参数，修正模型的各个失真部分，最终使模型对原形达到较为逼真的拟合，以作为模型识别的参数。

为了确保模型求解的唯一性，在模型调试过程中充分利用各种定解条件，也就是用那些靠得住的实测资料，如边界断面流量、生产井开采量等来约束模型对原形的拟合。在模型调试过程中，还充分利用水文地质勘探中获得的有关信息及计算者对水文地质条件的认识，来约束模型的调试和识别。这样，就能使识别后的含水层模型参数、地下水流场及水位动态、地下水资源量三者达到唯一的最佳匹配，使模型识别结果唯一、正确、可靠。

选取水文地质勘探与观测数据资料系列最为齐全的2001年1月至2002年6月为模拟期，模拟期为18个月。选用2001年1月的流场作为初始流场，见图7-6。2002年6月统测的地下水流场图和全区8个长观孔的地下水动态曲线为拟合依据。以实测靠得住的大气降水量、地下水开采量、边界流量等为约束条件，对模型进行全面调试和识别。模拟计算的时间差分步长为1个月。含水层的边界流量、各源汇项等各项数据均按月整理成为月平均值输入计算程序。运算后计算机输出逐月月末的节点地下水位和全区地下资源量的计算值。在有关定解条件约束下，经过多次试算与反复调整，使全区地下水流场和水位动态的计算值与实测值达到较好的拟合。最终使模型参数、地下水流场及水位动态、地下水资源量的时空分布，三者之间达到唯一的匹配。各长观孔地下水位动态曲线拟合结果见图7-7。计算区地下水流场拟合结果见图7-8。

图7-6 初始流场图

图7-7 地下水动态曲线拟合图

图7-8 地下水拟合流场图

5.模拟计算结果

（1）模型参数识别结果：模型识别结果，求得计算区含水层的导水系数T和给水度μ（埋藏区为贮水系数）的非均质分区及各区参数值，见图7-9及表7-1。

图7-9 参数分区图

表7-1 计算区含水层模型参数表

降水入渗系数分区及各区入渗系数值见图7-10及表7-2。

图7-10 降雨入渗分区图

表7-2 降水入渗系数分区表

（2）地下水资源均衡模拟结果：郑州矿区岩溶地下水资源均衡模拟计算，借用降雨量频率分析法，分析资料采用1970～1995年降雨量资料，降雨量频率计算采用理论频率图解适线法，分别计算出保证率为50%、75%和95%时的降雨量为643.96mm、518.34mm和395.23mm，代入模型计算不同保证率下降雨入渗补给量，并在维持现状开采的条件下，进行均衡计算。计算结果见表7-3。

表7-3 研究区典型年地下水资源均衡表