Question

关于线性代数的疑问（2道题）

第3题为什么能由行列式等于0推出贝塔1 2 3线性相关？
第5题为什么阿尔法1 2 3的秩为3，不能是小于等于3？

Answer 1

第3题 因为阿尔法1 2 3线性无关 ，贝塔 1 2 3 又能由阿尔法1 2 3表示，所以，当且仅当表示系数构成的行列式为0是 贝塔1 2 3线性相关

第5题 因为所有三维响亮都可用阿尔法1 2 3 表示，所以，阿尔法1 2 3无关，所以秩只能等于3

Answer 2

第三题：线性相关，表明通过行列式加减可以消去一行，这一行都为零，即行列式为零。这个是线性代数里边最基本的。
第五题：系数矩阵和其系数矩阵的增广阵的秩应该相同，但由于后边的贝塔可以任意选，对矩阵的秩会有影响，因此阿尔法123应该满秩。

Answer 3

第3题二者互为充要条件
第5题因为是三维向量，且阿尔法1 2 3线性无关，所以秩必为3

Answer 4

1. 知识点: 若 B=AK, A列满秩, 则r(B)=r(K).
此题有 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)K
K =
1 0 1
1 a -1
0 -1 1
所以 β1,β2,β3线性相关<=>r(β1,β2,β3)<3
<=> r(K)<3 <=> |K|=0.
2. 若r(α1,α2,α3)<3, 则3维基本向量组不能由α1,α2,α3线性表示