Question

大学数学微积分求极限

Answer 1

y=[(1/x)(a^x-1)/(a-1)]^(1/x)
则：lny=(1/x)[ln(a^x-1)-ln(a-1)-lnx]
lim[x→+∞] lny
=lim[x→+∞] [ln(a^x-1)-ln(a-1)-lnx]/x
洛必达法则
=lim[x→+∞] [a^xlna/(a^x-1)-1/x]
=lim[x→+∞] [(a^x-1+1)lna/(a^x-1)-1/x]
=lim[x→+∞] [lna+lna/(a^x-1)-1/x]
当a>1时，上式极限为lna
当0<a<1时，上式极限为0

因此：当a>1时，极限为e^(lna)=a
当0<a<1时，极限为e^0=1

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Answer 2

lim(x→+∞)[(1/x)*(a^x-1)/(a-1)]^(1/x)
=lim(x→+∞)(1/x)^(1/x)*lim(x→+∞)[(a^x-1)/(a-1)]^(1/x)

lim(x→+∞)ln[(1/x)^(1/x)]
=lim(x→+∞)(1/x)ln(1/x)
=lim(x→+∞)-lnx/x
=0
lim(x→+∞)(1/x)^(1/x)=1

lim(x→+∞)ln{[(a^x-1)/(a-1)]^(1/x)}
=lim(x→+∞)(1/x)ln[(a^x-1)/(a-1)]
=lim(x→+∞)ln[(a^x-1)/(a-1)]/x
=lim(x→+∞)ln(a^x-1)/x - lim(x→+∞)ln(a-1)/x
=lna
lim(x→+∞)[(a^x-1)/(a-1)]^(1/x)=a

原式=1*a=a