Question

求教高二数学（导数极其应用）题

1、已知函数f（x）= -x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）求f（x）的单调递增区间
（2）若对任意a∈[3,4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求b的取值

2、已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围
（2）在函数f（x）的图像上去定点A（x1，f(x1)），B（x2，f(x2)）（x1＜x2），设直线AB的斜率为k，请证明：存在x0∈（x1，x2），是导函数f'（x0）=k成立
求大神啊%>_<%

这两题真的好难啊%>_<%

Answer 1

1.1)   f'（x）=-3x^2+2ax

       f'（x)>=0       

      a>0时    x∈[0,2a/3]   ； a=0时，不合题意 ；a<0          x∈[2a/3,0]

2)   a>0    三个0点    最大值>0   最小值<0

     在x=2a/3去最大值

    在x=0去最小值

    b<0     -8a^3/27+4a^3/9+b>0

     0>b>-4a^3/27

2.f(x)=e^x-ax   f'(x)=e^x-a

f'(x)=e^x-a>0时   e^x>a  x>lna单调递增

f'(x)=e^x-a<0时  x<lna单调递减

f'(x)=e^x-a=0时  x=lna最小值

f(x)=e^x-ax

f(a)=a-alna>=1

f'(a)=1-1-lna=-lna

f'(a)=-lna<0时

a>1单调递减

f'(a)=-lna>0时

0<a<1单调递增

a=1最大值

f(1)=1

a的取值范围a=1

（2）题意不清

【【不清楚，再问；满意， 请采纳！祝你好运开☆！！】】

追问

第2题（2）：

在函数f（x）的图像上取定点A（x1，f(x1)）和B（x2，f(x2)）（x1＜x2），设直线AB的斜率为k，请证明：存在x0∈（x1，x2），使导数f'（x0）=k成立

追答

f'(x)=e^x-a说明f(x)在A（x1，f(x1)）和B（x2，f(x2)）之间可导，
由中值定理，可得函数f(x)在（x1，x2） 必有一x0，使得f'(x0)*(x2-x1)=f(x2)-f(x1)
即f'(x0)=【f(x2)-f(x1)】/(x2-x1)=k

Answer 2

有人回答了，我就补充下（没看正误，不好意思啊）
做导数题，第一步是解定义域，否则很容易错的，比如f(x)=1/x 或 f(x)=ln x
其次是注意数形结合，要注意它们的相互转化
最后，别忘了所有应用题的必需，答案
1
解：
（1）∵f（x）= -x³+ax²+b（a，b∈R）
∴x∈R
∴f′(x)=-3x²+2ax
令f'(x)=0,得x1=0 x2=2a/3
①若a>0 x∈[0,2a/3]
②若a=0 x∈Φ
③若a<0 x∈[2a/3]
（2）
∵a>0
∴在x=2a/3取得极大值 f(2a/3)=-（2a/3)³+a(2a/3)²+b
在x=0取得极小值 f(0)=b
-8a^3/27+4a^3/9+b>0
b<0
联立得0>b>-4a^3/27
2这个参照jzm45同学的吧，我就不重复了，注意过程的规范

Answer 3

1
1) f'（x）=-3x^2+2ax
f'（x)>=0
a>0 x∈[0,2a/3] a<0 x∈[2a/3,0]
2) a>0 三个0点 最大值>0 最小值<0
在x=2a/3去最大值
在x=0去最小值
b<0 -8a^3/27+4a^3/9+b>0
0>b>-4a^3/27

2
1) f'（x)=e^x-a
a>0
若f'（x)>0
x>lna
所以在（-无穷，lna）上减函数，（lna，+无穷）增函数，在x=lna取最小值
最小值=a-alna>=1
a=1复合上不等式
设函数g(a)=a-alna-1
g'(a)=1-1-lna=-lna
a<1
g'(a)>0
为增函数，g(1)=0最大值
所以a<1不复合
a>1
减函数，g(1)=0最小值
所以a>1复合
取值a>=1
2) x2<=lna 或x1>=lna
在（x1，x2）上单调，可导，有拉格朗日中值定理存在x0∈（x1，x2），是导函数f'（x0）=k成立
x1<lna<x2
显然成立

Answer 4

不会