Question

定积分求导问题

Answer 1

　　定积分求导，一般可以用来求面积，例如直线y=2x+1，与直线x=1，x=3，所围成区域的面积。

1.  对于此类问题，通常可以通过二维坐标系画图，得到一个直角梯形，利用梯形的面积公式可以求出所围成区域的面积。

2. 利用定积分计算，则面积计算公式为：S=∫(1,3)(2x+1)dx，计算过程如下：

   S=∫(1,3)2xdx+∫(1,3)dx

    =x^2(1,3)+x(1,3)

   =9-1+3-1=10平方单位。

       至于你题目中出现的图片，是用到两个函数乘积的求导法则和对不定积分的求导法则的综合应用，第一步把x提到积分符号∫的前面，是因为此时的不定积分的积分变量是t，此时x是常数，当不定积分部分通过积分后得到关于x的函数，下一步就是两个关于x的函数的乘积了，即用到函数乘积的求导法则。

Answer 2

这个导数的结果当然
不
是0啦,要先理解定积分的概念

如果定积分的形式为∫(
a
到
b
)
f(t)
dt,(
a
和
b
是常数)则这类积分的结果是
常数
,它的导数当然等于
0

但如果定积分的形式为∫(
a
到
x
)
f(t)
dt,(
a
是
常数
而
x
是
变数
),则这类积分的结果也是
函数式
,它的导数可能等于
常数
或
函数式
,但
不等于0
,这类积分是
变上限定积分
,与普通的定积分不同

d/dx
∫(a到x)
(x-t)f'(t)
dt

=d/dx
【∫(a到x)
(x-t)
d[f(t)]】

=d/dx
【(x-t)f(t)
(a到x)-∫(a到x)
f(t)
d(x-t)】

=d/dx
【(x-x)f(x)-(x-a)f(a)+∫(a到x)
f(t)
dt】

=d/dx
【-xf(a)+af(a)】+d/dx
∫(a到x)
f(t)
dt

=-f(a)+f(x)

=f(x)-f(a)

=∫(a到x)
f'(t)
dt

Answer 3

Answer 4

对有积分上下限函数的求导有以下公式:
[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c为常数。解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0.
[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)，a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。
[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，p(x)为积分下限函数。解释：积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。