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一道数学题跪求高人!!!!!!!!!!!!!!!
设平面上有有限个正三角形覆盖着面积为S的区域。求证:可以从中取出若干个互不重叠的正三角形,使其覆盖面积大于S/16....
设平面上有有限个正三角形覆盖着面积为S的区域。求证:可以从中取出若干个互不重叠的正三角形,使其覆盖面积大于S/16.
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5个回答
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不好意思,我是用手机回答,所以请你根据我的描述画个草稿哈~
首先画一个边长为a的正三角形,再以此三角形各边为边长各做一个边长为a的正方形,最后把各正方形相邻的外端点用圆弧线连接起来。这样就得到了一个由一个正三角形,三个正方形以及三个圆心角为120°组成的图形。
接下来解题
解:
在这有限个正三角形中,一定存在一个边长最大(几面积最大)的正三角形△1,设设△1的边长为a。与△1相重叠的所有正三角形都在上述的图形中所画的范围内。这个加“保护层”后的图形面积为:(√3)/4×a²加3×a²加π×a²。
设△1及与△1重叠的正三角形覆盖的总面积为S1,则S1≦(√3)/4×a²加3×a²加π×a²=(√3)/4×a²(1加4√3加4/3×√3×π)
∴△1=(√3)/4a²≥S1/(1加4√3加4/3×√3×π)
除去△1及与△1重叠的正三角形,在所余正三角形中取边长最大的一个△2,同样得:
△2≥S2/(1加4√3加4/3×√3×π)
其中,S2是△2及与△2重叠的正三角形覆盖的总面积。
如此继续下去,至第k步全部取完,得:
△1加△2加……加△k≥1/(1加4√3加4/3×√3×π)×
(S1加S2加……Sk)
但S1加S2加……加Sk≥S
1加4√3加4/3×√3×π<16
可推出:
△1加△2加……加△k≥S/(1加4√3加4/3×√3×π)>S/16
所以命题得证。
首先画一个边长为a的正三角形,再以此三角形各边为边长各做一个边长为a的正方形,最后把各正方形相邻的外端点用圆弧线连接起来。这样就得到了一个由一个正三角形,三个正方形以及三个圆心角为120°组成的图形。
接下来解题
解:
在这有限个正三角形中,一定存在一个边长最大(几面积最大)的正三角形△1,设设△1的边长为a。与△1相重叠的所有正三角形都在上述的图形中所画的范围内。这个加“保护层”后的图形面积为:(√3)/4×a²加3×a²加π×a²。
设△1及与△1重叠的正三角形覆盖的总面积为S1,则S1≦(√3)/4×a²加3×a²加π×a²=(√3)/4×a²(1加4√3加4/3×√3×π)
∴△1=(√3)/4a²≥S1/(1加4√3加4/3×√3×π)
除去△1及与△1重叠的正三角形,在所余正三角形中取边长最大的一个△2,同样得:
△2≥S2/(1加4√3加4/3×√3×π)
其中,S2是△2及与△2重叠的正三角形覆盖的总面积。
如此继续下去,至第k步全部取完,得:
△1加△2加……加△k≥1/(1加4√3加4/3×√3×π)×
(S1加S2加……Sk)
但S1加S2加……加Sk≥S
1加4√3加4/3×√3×π<16
可推出:
△1加△2加……加△k≥S/(1加4√3加4/3×√3×π)>S/16
所以命题得证。
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区域定义有点模糊哦、
追问
一点都不模糊,别人都答出来了,咋么这么多自以为是。
追答
唉!现在的年轻人啊!
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给图片行不???
追问
没本事就不要露脸,没人会知道你的存在,别这么傻。
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e
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