Question

有关高数的问题

请问：f（x）在Xo的某一去心邻域处有界是limf（x）当x→Xo时极限存在的什么条件，为什么，最好能举个例子简单的说明一下，谢谢

函数在Xo的某一去心邻域有界，这个某个去心邻域是什么意思，是不是说Xo所有去心邻域中至少有一个区间满足函数在此区间内有界？

Answer 1

去心邻域，就是这一点的周围区域，却不包括这一点。
邻域有个半径的概念。
不论半径有多大，邻域始终是以该点为中心的对称区域。
比如，原点的邻域就 是（-a,a）
这个a可大可小。
可以是（-∞，∞）
但是，邻域的概念在微分，导数这里用得比较多，一般半径都比较小，是一个无穷小值，用以表示非常接近 某个点的临近 的环境。

所以，你一般理解为和这个点挨着的周围的点。

再回到这道题。邻域可以指一个非常大的区域，比如（-∞，∞），
但是不论这个区域再大，都必须包含周围的点。
换一种说法，假设最小的邻域是（-a,a）
那么，其他任何的邻域，都是要包含(-a,a)。
就好像人的胳膊上任何地方都是人躯干的邻域，但是，最小的邻域是人的肩膀到躯干。那么，如果要扩大这个邻域，就必须先经过人的肩膀。
邻域始终是从这一点出发，向两边扩散。
因而，如果某个邻域上的点不满足条件，而另一个邻域内的点满足条件，那么这个满足条件的邻域一定是半径较小的邻域。
因此本题目的某一邻域内有界，一定是一个比较小的邻域。
这是一个必要不充分条件。
例如，sin(1/x) 在0处，始终有界，但是当x→0时，极限不存在；
而，如果函数在某点的极限存在，那么一定是左极限等于右极限。左右极限就分别存在于该点的左右邻域内。极限存在，那么根据极限的定义，在此邻域内一定是有界的。