Question

高数题~~~

Answer 1

这题可以先把垂线方程求出来，再按线向式求面。但是我高中知识丢太多了，懒得去查了。下面就本题给个技巧一点的解法。

图中ABCDD1C1B1A1是单位立方体。A1坐标(1,-1,1)。DC1所在直线即为你题目里划线的那条直线。根据几何知识，三角形A1DC1是个正三角形，故A1到DC1垂线的垂足是线段DC1的中点（即面DCC1D1的面心（0,-0.5,0.5）,记为O），而面Z=0就是面ABCD，下面的过程就是分别通过A1和O向面ABCD做垂线来确定所求的面（俩条垂线分别为A1A和O到DC中点(0,-0.5,0)的连线），最后给出这个面（因为我面的表示知识忘记了可能是错的，你可以自己算一下）：0.5x+y=-0.5

Answer 2

郭敦顒回答：
原题是：设一平面垂直于z=0，并通过坐标点A（1，－1，1）到直线L：y－z+1=0，x=0的垂线，垂足是B，求此平面方程。
这一平面设为M：ax+by +cz=D
这一平面M垂直于z=0，即平面M⊥平面（x，y）。
直线L：y－z+1=0，x=0，在平面（y，z）上，
y=z－1，z=0时，y=－1，得坐标点C（0，－1，0）；y=0时，z=1，
得坐标点D（0，0，1）
在平面OCD上即平面（y，z）上取坐标点E（0，－1，1），则ODEC为正方形，
连AE，则AE⊥DE，点B为CD中点，连EB，则EB⊥CD，EB⊥平面ACD，
∴EB⊥AB，AB⊥CD，∴点B坐标为B（0，－0.5，0.5），∵y=－1/2，z=1/2。
Z L Y
D（0，0，1）

E A（1，－1，1）
B X
O
G
F()
C（0，－1，0）
平面M通过垂线AB，求M的平面方程： ax+by +cz=D
∵平面M垂直于z=0，即平面M⊥平面（x，y）,
∴平面M通过点A在平面（y，z）上的垂足F,其坐标为F(1,－1,0),
又平面M通过点B在平面（y，z）上的垂足G,其坐标为G(0,－0.5,0),
点F(1,－1,0) 代入平面方程M得， a－b=D (1)
点G(0－0.5,0) 代入平面方程M得，0－0.5b+0 =D (2)
点A（1，－1，1）代入平面方程M得， a－b+ c=D (3)
点B（0，－0.5，0.5）代入平面方程M得，0－0.5b+0.5 c =D (4)
解上联立方程,由(1)与(3)得, c=0,
由(2)得b=－2D (5)
由(5)与 (1)得a=－D, a=2b
将a=－D，b=－2D ，c=0,代入M的平面方程ax+by +cz=D得，
平面M：x+2y=－1，M∥z轴。
此即为所求平面方程。

Answer 3

解：
设(1,-1,1)到已知直线的垂线的垂足为(x0,y0,z0)
由于已知直线的方向向量为(0,1,1)
则
x0=0
y0-z0+1=0
((x0-1,y0+1,z0-1),(0,1,1))=0
=>x0=0,y0=-1/2,z0=1/2.
故所求平面为垂直于xy平面，且经过点(0,-1/2,1/2)和点(1,-1,1)的平面
设平面方程为ax+by+c=0将上述两点代入方程，
解得：a=c,b=2c,c≠0
则cx+2cy+c=0=>x+2y+1=0即为所求

Answer 4

设平面法向量为(A,B,C),由于所求平面垂直于z=0,故C=0,
所以设平面方程为A(x-1)+B(y+1)=0,
下求垂足坐标（0,y,z)
首先写出直线的标准方程:x/0=y/1=(z-1)/1
故直线的方向向量为(0,1,1)，它应垂直于(1,-1-y,1-z)
故y+z=0,又垂足在直线上，所以满足y-z+1=0
于是y=-1/2,z=1/2
所以将垂足代入所求平面方程中，得B=2A.
于是x-1+2(y+1)=0即为平面方程