Question

用数学归纳法证明 在线等！求详细解答 好的话有加分！

第一题是：a)用数学归纳法证明：1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+3]*1/6
然后使用a)的结果证明：1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6

第二题是：用数学归纳法证明 [2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数

在线求解答！谢谢！

Answer 1

证明：1、显然当n=1时左边=1*3=3，右边=[(2*1-1)(2*1+1)(2*1+3)+3]*1/6=3，左边=右边成立；
假设当n=k时等式成立，也即有
1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6成立，则
当n=k+1时，左边=1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+6*(2k+1)(2k+3)+3]*1/6
={(2k+1)[(2k-1)(2k+3)+6*(2k+3)+3]}*1/6
=[(2k+1)(4k^2+4k-3+12k+18)+3]*1/6
=[(2k+1)(4k^2+16k+15)+3]*1/6
=[(2k+1)(2k+3)(2k+5)+3]*1/6=右边成立
故对所有的n∈N都有等式成立。
2、当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数；当n=2时有[2^2-(-1)^2]*1/3=1为单数。
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数。
则当n=k+2时，有
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[4*2^k-(-1)^k]*1/3=[3*2^k+2^k-(-1)^k]*1/3
=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数，2^k为双数，故
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数。
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数。
不明白请追问。
第二问亦可直接这样证明：
当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数。
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数。
则当n=k+1时，有
[2^(k+1)-(-1)^(k+1)]*1/3=[2*2^k+(-1)^k]*1/3=[3*2^k-2^k+(-1)^k]*1/3
=-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数，2^k为双数，故
-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数。
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数。
不明白请追问。

追问

然后使用a)的结果证明：1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6 其实我证明这里不太明白……（不好意思本人愚……）

而且为什么第二题不用k+1证明要用k+2 本人只学了用k+1证明MI………………

不好意思啊……

追答

1、第一问证明出来了，下面就很好办了。
因为(2n-1)(2n+1)=4n^2-1，故有
1^2+2^2+3^2+……+n^2=[1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)+1^2+(n-1)]/4
=[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+3]*(1/6)/4+n/4
=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6
2、第二问也可以用用k+1证明。我后边已经给出来了

Answer 2

1.当n=1时，1*3+3*5+……+（2n-1）（2n+1）=1*3=3
[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+3]*1/6=[1*3*5+3]/6=3
左边=右边，∴原式成立。
设若n=m时，原等式成立，则当n=m+1时，
左边=1*3+3*5+……+(2m+1)(2m+3)
=[(2m-1)(2m+1)(2m+3)+3]*1/6+(2m+1)(2m+3)
=1/6*[(2m-1)(2m+1)(2m+3)+3+6(2m+1)(2m+3)]
=1/6*[(2m+1)(2m+3)(2m-1+6)+3]
=1/6*[(2m+1)(2m+3)(2m+5)+3]
右边=[(2m+1)(2m+3)(2m+5)+3]*1/6
∵左边=右边，
∴命题成立。
当上式两边同加n再除以4时，由于共有n项，相当于每一项加1再除以4.
左边=[(1*3+3*5+……+（2n-1）(2n+1))+n]/4
=[（1*3+1）/4+(3*5+1)/4+……+（2n-1）(2n+1)/4]
=1^2+2^2+……+n^2
右边={[（2n-1）(2n+1)(2n+3)+3]/6+n}/4
={(4n^2+4n-3)(2n+1)+(6n+3)}/24
=[(4n^2+4n-3+3)(2n+1)]/24
=[4n(n+1)(2n+1)]/24
=n(n+1)(2n+1)/6 得证。
2.对于[2^n-(-1)^n]*1/3.当n=1时，原式=(2^1+1)/3=1,
当n=2时，[2^2-(-1)^2]/3=1,原式均成立。
设n=m时，原式成立，当n=m+1时，
如果m为奇数，则m+1为偶数，[2^(m+1)-(-1)^(m+1)]/3=[2×2^m-1]/3=[2×（2^m+1）-3]/3
=2×[（2^m+1）/3]-1.结果为奇数，即结论成立。
如果m为偶数，则m+1为奇数，[2^(m+1)-(-1)^(m+1)]/3=[2×2^m+1]/3=[2×（2^m-1）+3]/3
=2[(2^m-1)/3]+1.结果为奇数，即结论成立。
综上所述，结论均成立。

Answer 3

1、当n=1时有：
1*3=（1*3*5+3）*1/6成立
假设当n=k时等式成立，即：
1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6
当n=k+1时：
1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6+(2k+1)(2k+3)
=[(2k+1)(2k+3)(2k+5)+3]*1/6
证毕

Answer 4

有了