Question

如图,在Rt△ABC中,已知AB=AC,∠A=90°,D为BC上任一点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E

如图,在Rt△ABC中,已知AB=AC,∠A=90°,D为BC上任一点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。

Answer 1

解：
△MEF是等腰直角三角形。证明如下：
连接AM
∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AM=1/2 BC=BM，AM平分∠BAC．
∵∠MAC=∠MAB=1/2 ∠BAC=45°．
∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE∥AB，DF∥AC．
∵∠BAC=90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∴DF=AE．
∵DF⊥BF，∠B=45°．
∴∠BDF=∠B=45°．
∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，
∴AE=BF．
∵AM=BM
∴△AEM≌△BFM（SAS）．
∴EM=FM，∠AME=∠BMF．
∵∠AMF+∠BMF=90°，
∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．

希望我的回答对您有帮助O(∩_∩)O

Answer 2

△MEF是等腰直角三角形，
证明：连接AM，
因为在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°
所以∠B=∠C=45°
又因为DF⊥AB，
所以∠B=∠BDF=45°
所以BF=DF
又DE⊥AC
所以四边形AFDE是矩形
所以AF=DE,DF=AE
所以BF=AE
因为M为BC的中点，
所以AM=BM=CM,AM⊥BC,∠BAM=∠CAM=1/2∠BAC=45°
所以△BFM全等于△AEM
所以MF=ME,,∠BMF=∠AME
而,∠AMB=90°
即,∠BMF+∠AMF=90°
所以∠AME+∠AMF=90°
即,∠EMF=90°
所以△MEF是等腰直角三角形.

Answer 3

过M作MH,MG垂直AB,AC.MH与DE交于O
则易知AHMG正方形
EG=OM=DO=HF(等腰直角三角形可见)
所以FMH全等EMG ME=MF FMH=EMG
HMG=90=HME+EMG=HME+FMH=FME
所以△MEF等腰直角三角形