Question

在五边形abcd中,ab垂直于bc,ae垂直于de，角bac等于角dae，m为cd中点，，n为be中点，求证mn垂直于be

Answer 1

本题显然缺少条件.
现补充一个条件"AB=AE"或"BC=DE"或"AC=AD".
◆下面以补充条件"AB+AE"进行证明如下:
证明:∵"AB=AE";∠ABC=∠AED=90°;∠BAC=∠EAD.
∴∠ABE=∠AEB;(等边对等角)

⊿ABC≌⊿AED(AAS),BC=ED;∠ACB=∠ADE;AC=AD,得∠ACD=∠ADC.
∴∠EBC=∠BED(等式的性质).
则∠EBC+∠ACB+∠ACD=∠BED+∠ADE+∠ADC=180°
.
∴BE∥CD;又BC=DE.故四边形BCDE为等腰梯形;
又M和N分别为两底CD和BE的中点,即MN所在直线为梯形BCDE的对称轴.
∴MN⊥BE.
(注:也可连接BM和EM,通过证⊿BCM≌⊿EDM,得BM=EM;又N为BE中点,故MN垂直BE.)