Question

已知关于x的二次函数 y=X^2-(2m-1)x+m^2+3m+4 设二次函数y的图像与x轴的交点为A（x1,0）B（x2,0）

已知关于x的二次函数 y=X^2-(2m-1)x+m^2+3m+4 设二次函数y的图像与x轴的交点为A（x1,0）B（x2,0），且（x1+x2）^2-2x1x2=5，与Y轴的交点为C，他的顶点为M，求四边形AMBC的面积

Answer 1

解：
x=x1，x=x2是方程x²-(2m-1)x+m²+3m+4=0的两实根。由韦达定理得
x1+x2=2m-1
x1x2=m²+3m+4
代入(x1+x2)²-2x1x2=5
(2m-1)²-2(m²+3m+4)=5
整理，得
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
m=6或m=-1
m=6时，方程变为x²-11x+58=0，方程无解。
m=-1时，方程变为x²+3x+2=0
(x+1)(x+2)=0
x=-1或x=-2 点A坐标(-1，0)，点B坐标(-2，0)
函数解析式为y=x²+3x+2
令x=0，y=0+0+2=2 点C坐标(0，2)
y=x²+3x+2=(x +3/2)² -1/4，顶点坐标M(-3/2，-1/4)
S四边形AMBC=S△ABM+S△ABC
=|(-1)-(-2)|×|-1/4|/2 +|(-1)-(-2)|×2/2
=9/8