Question

已知A（0，-3）B（2，3）设点P为抛物线X²=Y 上一点

求△PAB面积的最小值及最小值时点P 的坐标

Answer 1

已知A(0,-3),B(2,3)
则|AB|=√[(0-2)²+(-3-3)²]=2√10

设点P为抛物线x²=y上一点

当△PAB面积的最小值时，AB边上的高最小
要求这样的P，即是求抛物线上离直线AB最短的点

直线AB斜率是k=(-3-3)/(0-2)=3

y=x²
y'=2x

令y'=2x=3
得x=3/2
所以y=x²=9/4

所以这样的点P是(3/2,9/4)

直线AB是y-3=3(x-2)
即3x-y-3=0
所以点P到直线AB的距离是d=|3*(3/2)-9/4-3|/√(9+1)=3√10/40

即AB边上的高是h=3√10/40

所以△PAB面积的最小值是S=(1/2)*2√10*3√10/40=3/4

最后结论是:△PAB面积的最小值是3/4,最小值时点P的坐标是(3/2,9/4)

Answer 2

连接A、B，求得线段长为2√10
线段AB所在的直线设为y=kx+b
斜率K=[3-(-3)]/(2-0)=3
将A(0，-3)代入直线得b= -3
所以线段AB所在的直线设为y=3x-3
因为边AB的长度已经固定，所以要求△PAB面积的最小值，即为点P到直线AB的距离最短
设P(Xo,Yo)，距离为h，又P点在抛物线上，所以Yo=Xo²
h=|3Xo-Yo-3| /√[3²+(-1)²]=|3Xo-Xo²-3|/√10
因此只要求出 |3Xo-Xo²-3|的最小值即可
又 |3Xo-Xo²-3|=|-(x-3/2)²-3/4|
很显然 -(x-3/2)²-3/4≤ -3/4 ，即 |3Xo-Xo²-3|=|-(x-3/2)²-3/4|≥3/4
所以当Xo=3/2时，Yo=9/4，即P(3/2,9/4)，h有最小值3√10/40
所以面积=1/2*2√10*3√10/40=3/4
综上所述，△PAB面积的最小值为3/4，,最小值时点P 的坐标为(3/2,9/4)