求证1²+2²+3²+……+n²=(1/6*n(n+1)(2n+1))/n(n为正整数

百度网友03e023ce01
推荐于2016-12-02 · TA获得超过2573个赞
知道小有建树答主
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立方差
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各式相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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z09information
2012-11-30 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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n n n n
∑[﹙k+1﹚³-k³]=∑﹙3k²+3k+1﹚=3∑k²+3∑k+n=3﹙1²+2²+…n²﹚+3/2n﹙n+1﹚+n
K=1 k=1 k=1 k=1

n
∑[﹙k+1﹚³-k³]=﹙n+1﹚³-1³=n³+3n²+3n
k=1
∴3﹙1²+2²+…n²﹚+3/2n﹙n+1﹚+n=n³+3n²+3n

3﹙1²+2²+…n²﹚=n³+3/2n²+1/2n=½n﹙2n²+3n+1﹚=½n﹙n+1﹚﹙2n+1﹚
∴1²+2²+…n²=1/6n﹙n+1﹚﹙2n+1﹚
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末路英雄123b83f6ac
2012-11-30 · TA获得超过5599个赞
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数学归纳法
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