Question

已知：抛物线y=-x平方+2x+m-1与x轴有两个交点A、B（1）求m的取值范围

（2）如果点A坐标为（-1，0），求此抛物线的解析式，并求出顶点C的坐标
（3）在第2小题中的抛物线上是否存在一点P（与点C不重合），使S△PAB=S△CAB，若存在，求出点P的左边；若不在，说明理由

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
即b2-4ac=22-4×（-1）×（m-1）=4+4m-4=4m＞0，
解得m＞0；

（2）∵A的坐标为（-1，0），
∴-（-1）2+2×（-1）+m-1=0，
解得m=4，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+4-1=-x2+2x+3，
即y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+3+1=-（x-1）2+4，
∴顶点C的坐标为（1，4）；
（3）∵△PAB和△CAB都以AB为底边，
∴只要AB边上的高相等，则面积相等，
根据（2），点C的坐标为（1，4），
∴点C到AB的距离为4，
∴可以找到在x轴下方的点P，使S△PAB=S△CAB，此时点P的纵坐标为-4，
-x2+2x+3=-4，
整理得，x2-2x-7=0，解得X=1加减根号二
∴存在点P（1-22，-4）或（1+22，-4）使S△PAB=S△CAB．