Question

高一数学函数问题 - -帮我解答下好吗？谢谢。

已知函数f(x)=ax^2+bx-1满足以下两个条件：
① 函数的值域为[-2,+∞）
②任意x∈R，恒有f(-1+x)=f(-1-x)成立.
（1）求f(x)的解析式；
（2）设F(X)=f（-x）-kf（x)，若F(x）在[-2,2]上是减函数，求实数k的取值范围.

Answer 1

由第2个条件我们可以知道他的对称轴为x=-1这条线
而所以我们将原式化为f(x)=a(x+b/2a)^2-1-b^2/4a
由条件一可知图像开口向上 所以a>0 然后-b/2a=-1 且-1-b^2/4a=-2
解出来a=1 b=2
f（x）=x^2+2x-1
F(x)=x^2-2x-1-kx^2-2kx+k=(1-k)x^2-2(1+k)x+k-1
要在-2到2为减函数
（1）先讨论当1-k=0时 即k=1 F（x）=-4x 在条件内为减函数成立
（2）当1-k>0时 即k<1 图像开口向上，要使得在条件内为减函数 即【-2，2】在对称轴的左边
所以对称轴x=(1+k)/(1-k)大于等于2 求得k的范围是[1/3,1)
(3)当1-k<0时 即k>1 图像开口乡下
要使得在条件内为减函数 即【-2，2】在对称轴的右边
所以对称轴x=(1+k)/(1-k)小于等于-2 求得k的范围是（1,3]
所以k的取值范围是[1/3,3]

Answer 2

解；（1）由条件②易知f（x）的对称轴为直线x=-1
即-b/（2a）=-1， 得b=2a……（1）
由条件①知f（x）∈[-2，＋∞），即函数有最小值-2，亦即（4ac-b²）/4a=-2……（2）
联立（1）（2）解得a=1，b=2
所以f（x）=x²+2x-1
（2）F（x）=f（-x）-kf（x）=x²-2x-1-kx²-2kx+k=（1-k）x²-2x（1+k）-（1-k）
① 当k=1时，F（x）=-4x，在R上单调递减，符合题意；
②当k≠1时，F（x）的对称轴为直线x=（1+k）/（1-k），Δ＝4(1+k)²+4(1-k)²＞0
若k＜1，则F（x）的图象开口向上，此时有
（1+k）/（1-k）≥2， 解得k≥1/3，∴k∈[1/3，1)
若k＞1，则F（x）的图象开口向下，此时有
（1+k）/（1-k）≤-2， 解得k≥-3，∴k∈(1，＋∞)
综上所述，k∈[1/3，＋∞）

Answer 3

对称轴为x=-1这条线
将原式化为f(x)=a(x+b/2a)^2-1-b^2/4a
由条件一可知图像开口向上 所以a>0 然后-b/2a=-1 且-1-b^2/4a=-2
所以a=1 b=2
f（x）=x^2+2x-1
F(x)=x^2-2x-1-kx^2-2kx+k=(1-k)x^2-2(1+k)x+k-1
要在-2到2为减函数
（1）先讨论当1-k=0时 即k=1 F（x）=-4x 在条件内为减函数成立
（2）当1-k>0时 即k<1 图像开口向上，要使得在条件内为减函数 即【-2，2】在对称轴的左边
所以对称轴x=(1+k)/(1-k)大于等于2 求得k的范围是[1/3,1)
(3)当1-k<0时 即k>1 图像开口乡下
要使得在条件内为减函数 即【-2，2】在对称轴的右边
对称轴x=(1+k)/(1-k)小于等于-2 求得k的范围是（1,3）
k的取值范围是[1/3,3）