Question

有关高数的问题

f（x）在Xo的某一去心邻域内无界是limf（x）当x→Xo时极限=无穷的什么条件，为什么，最好能举个例子简单的说明一下，谢谢

Answer 1

f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf（x）存在的必要条件，而不是充要条件”
考虑f(x)在某点处左右极限不相等的情况！

必要性：
由极限定义：
∵lim(x→x0)f(x)=∞
∴对于任意的M>0,存在δ>0,st.0<|x-x0|<δ,有：
|f(x)|>M
∴f(x)在去心领域U(x0,δ)内无界
即：f(x)在X0的某一去心邻域内无界是在该点极限无穷的必要条件
充分性：
证明不充分只要找出反例即可
有f(x)=1/x
在去心领域U(1,1)即(0,1)∪(1,2)上无界,
但lim(x→1)f(x)=f(1)=1≠∞
即不充分