Question

已知x^2+y^2=z^2,求证：xyz是60的倍数。

Answer 1

（腊数1）如果x、y、z 都不是 3 的倍数，则由 (3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1 知，x^2、y^2、z^2 被 3 除都余 1 ，等式左边被 3 除余 2 ，右边被 3 除余 1 ，矛盾，
因此 3|xyz ；
（2）由等式可知，x、y、z 不可能都是奇数；
如果 z 是偶数，假如 x、y 是奇数，则左边模 4 余2 ，右边模 4 余 0 ，所以如果 z 是偶数，则 x、y 都是偶数；
不妨设 x 为偶数，y、z 为奇数。则由 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 知，y^2、z^2 模 8 余 1 ，
因此 x^2=z^2-y^2 中，右边是 8 的倍数，所以 x 必是拿做 4 的倍数 ，
所以，总有 4|xyz ；
（3）因为 (5k±1)^2=5(5k^2±2k)+1 ，(5k±2)^2=5(5k^2±4k)+4 ，
所以，如果 x、y、z 都不是 5 的倍数，则等式左边消局衡模 5 余 2 或 0 或 8 ，右边模 5 余 1 或 4 ，
等式不可能成立，因此 5|xyz ；

综上可得 60|xyz 。