Question

如图12，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．

过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．请问是怎么得的？？？

Answer 1

应该是写错了，正确的是：
PN=MD=OC/2
QM=DN=OB/2
因为D为BC的中点，M为BO的中点，所以MD=OC/2
因为三角形COP是直角三角形，直角三角形斜边的中线=斜边的一半，
所以PN=OC/2
这个的证明就是取PC的中点T，连接NT，则NT//OP
因为OP垂直于AC，所以NT垂直于AC
既然NT垂直且平分AC，则三角形PNC为等腰三角形，所以PN=NC=OC/2

追问

请给我解答一下，如图

谢谢

追答

上面的过程证明了PN=MD=OC/2
同理可得：QM=DN=OB/2
前面已证PN=NC，所以∠NPC=∠FCE，所以∠PNO=∠NPC+∠FCE=2∠FCE
因为DN//OB，所以∠DNO+∠BOC=180度
同理可得：∠QMO=2∠EBF，∠DMO+∠BOC=180度
所以∠QMO=∠PNO，∠DNO=∠DMO
所以∠QMD=∠QMO+∠DMO=∠PNO+∠DNO=∠PND
所以三角形QMD与三角形DNP全等
所以QD=PD