Question

设a,b,c,x,y,z是正数且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则(a+b+c)/(x+y+z)=

Answer 1

可以用柯西不等式
400=10*40=（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）>=(ax+by+cz)2=20*20=400
所以a,b,c,x,y,z满足柯西不等式的等号条件，即：a/x=b/y=c/z
不妨设a/x=k,则( a+b+c )/(x+y+z)=k(x+y+z)/(x+y+z)=k
现在来求k
a2+b2+c2=1 0,x2+y2+z2=40
即：10=a2+b2+c2=k2（x2+y2+z2）=k2*40，故k=1/2，即所求为1/2
注：以上由于a,b,c,x,y,z都是正数，所以在一些地方我没有加注释，你真正解答的时候需要加上（比如k2=1/4的时候我直接得到k=1/2）