Question

如图，已知直线l： 交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB沿直线l翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上.

Answer 1

（1）过点C作CD⊥OA，垂足为点D．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴AB＝
AO2+BO2
＝
32+(
3
)2
＝2
3
…（1分）
∴AB=2BO，∴∠BAO=30°，
∵△ABC由△AOB沿直线AB翻折所得，
∴∠CAB=∠BAO=30°，CA=AO=3．
∵CD⊥OA，垂足为点D，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-30°-30°=30°…（1分）
∴AD＝
1
2
AC＝
3
2
，
∴CD＝
AC2−AD2
＝
32−(
3
2
)2
＝
3
2
3
，OD＝AO−AD＝
3
2
，
∴C(
3
2
，
3
2
3
)．
∵点C(
3
2
，
3
2
3
)在双曲线y＝
k
x
(k＞0)上，
∴
3
2
3
＝
k
3
2
，
∴k＝
9
4
3
．
设AC中点为D，则D点坐标D为：x=
3+
3
2
2
=
9
4
，y=
0+
3
3
2
2
=
3
3
4
，
即（
9
4
，
3
3
4
），再设P点坐标（x，y）
x
2
＝
9
4
y+
3
2
＝
3
3
4
解得：
x＝
9
2
y＝
3
2
．
把坐标代入双曲线y=
9
3
4x
，等式成立，
故点P在双曲线上．