Question

证明a^n-b^n=(a-b)(a^n-1 + a^n-2 b +....+a b^n-2 + b^n-1)

Answer 1

a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n
①a≠b时
上式就是求a^n为首项公比为b/a的等比数列的前n项和
其项数为n+1项
等比数列的求和公式为
a1(1-q^n)/(1-q)
则a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n
=a^n[1-(b/a)^(n+1)]/(1-b/a)
=[a^(n+1)-b^(n+1)](a-b)
(a-b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n)
=a^(n+1)-b^(n+1)
其中a≠b，且a，b≠0
②当a=b时
则给出的式子为0=0恒等式。
向后递减一个次方就行

Answer 2

不太好说明。
学过多项式除法的话可以直接求出(a^n-b^n)/(a-b)=a^(n-1)+
a^(n-2)*b
+....+a*b^(n-2)
+
b^(n-1)。
也可以直接拆开右边。有
右边=
a*[a^(n-1)+
a^(n-2)*b
+....+a*b^(n-2)
+
b^(n-1)]
-
b*[a^(n-1)+
a^(n-2)*b
+....+a*b^(n-2)
+
b^(n-1)]
=
a^n
+
a^(n-1)*b
+
a^(n-2)*b^2
+....+
a^2*b^(n-2)
+
a*b^(n-1)
-[b^n
+
b^(n-1)*a
+
b^(n-2)*a^2
+....+
b^2*b^(a-2)
+
b*a^(n-1)]
=
a^n
+
a^(n-1)*b
+
a^(n-2)*b^2
+....+
a^2*b^(n-2)
+
a*b^(n-1)
-[b^n
+
b*a^(n-1)
+
b^2*b^(a-2)
+....+
b^(n-2)*a^2
+
b^(n-1)*a]
(颠倒第二行的顺序，发现可以上下对应消去)
=
a^n
-
b^n=左边。证毕。