Question

直线l与椭圆x^2/4+y^2=1相交于A、B两点，且AB的中点坐标为（1,1/2），求l的方程

Answer 1

因为直线与椭圆交于两点A(x1,y1)B(x2,y2)，所以这两点满足
(x1)^2/4+(y1)^2=1
(x2)^2/4+(y2)^2=1
两式相减，得到(1/4)[(x1)^2-(x2)^2]+(y1)^2-(y2)^2=0
(1/4)(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
因为A,B中点为(1,1/2)
所以(x1+x2)/2=1,(y1+y2)/2=1/2
x1+x2=2,y1+y2=1
代入(1/4)(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0得，(1/4)×2×(x1-x2)+(y1-y2)=0
(1/2)(x1-x2)+(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2=k(直线斜率)
所以直线方程为y-(1/2)=(-1/2)(x-1)
即-2y+1=x-1
x+2y-2=0

Answer 2

设
A(X1,Y1）
B（X2，Y2）
AB中点P（1，0.5）
X1^2/4+Y1^2/2=1
（1）
X2^2/4+Y2^2/2=1 （2）
（1）—（2）得（X1+X2)(X1—X2)/4+(Y1+Y2)(Y1—Y2)/2=0
因为
（X1+X2)/2=1
(Y1+Y2)/2=0.5
代入上式得
（X1—X2)/2+(Y1-Y2)/2=0
所以
K（AB）=（X1—X2)/(Y1—Y2)=-1
所以
l:
y-1/2=-(x-1)
即
X+Y—3/2=0