Question

已知两个等差数列5，8，11···和3，7，11···都有100项，问它们有多少相同的项？

设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{b k}，则an=3n+2，bk=4k-1．
设{an}中的第n项与{bk}中的第k项相同，
即3n+2=4k-1，∴n=4k/3 -1
又m、n∈N*，∴设k=3r（r∈N*），
得n=4r-1．
根据题意得
1≤3r≤1001≤4r-1≤100
解得1≤r≤25（r∈N*）

1.我想问的是他们的项数一开始都用n表示不行吗？即
an=3n+2，bn=4n-1．
3n+2=4n-1这样不可以吗？
2.最后为什么要引入r?不引入r直接用原来的未知数计算不可以吗？

Answer 1

1、两个都用 n 是不行的，
因为如果都用 n 的话，
相当于是让这两个数列同时比较第 n 项是不是相同的，
这样会错失很多值相等但是序号不相等的项，甚至是得不到答案。
比如1、2、3、4、5、6和2、4、6、8、10、12，
如果都用n的话，是 n=2n，直接约去了 n，
这样求出来的结果是不存在相等的项，
但实际上它们有相等的项2、4、6，
分别用n、k就不会出现这种问题，
还是上面的例子，
可得到关系式是 n=2k
由于项数为6，那么1≤2k≤6
可行的k为 k=1、2、3，对应n=2、4、6
恰好可求出相同的项为2、4、6，不多也不会遗漏。
2、为什么要引入r？
你的题目中得出的n、k关系是 n=4k/3-1
可见n是含分数的k的表达式
要使n、k同时确保为正整数，
就需要4k/3为整数
所以，引入整数r，使k=3r，
这样一来n就可以表示为可确保整数的表达式 n=4r-1了

追问

不引入 r , 直接去1≤3n+2≤100 1≤4k-11≤100 ，不行吗

追答

不行的，这样只是分别得到 n、k，并未解决问题

追问

1≤4k/3 -1≤100 k 1≤k≤100 ,这样为什么不行