Question

已知圆x2+y2-2x+4y+m=0和直线x-y-2=0交于P,Q两点若OP⊥OQ(O为原点)求m的值

Answer 1

圆方程：(x-1)^2+(y+2)^2=5-m；直线方程：y=x-2
因为两者相交，所以
(x-1)^2+(x-2+2)^2=5-m,即2x^2-2x+m-4=0
所以x1+x2=1,x1*x2=(m-4)/2
又因为三角形OPQ是等腰直角三角形，所以
OP^2+OQ^2=PQ^2,即2r^2=PQ^2
2*(5-m)=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2,又因为y=x-2
2*(5-m)=(x1-x2)^2+(x1-2-x2+2)^2
5-m=(x1-x2)^2
5-m=(x1+x2)^2-4x1x2，代入x1+x2=1,x1*x2=(m-4)/2
5-m=1-2m+8，得
m=4
加油哈

Answer 2

圆方程：(x-1)^2+(y+2)^2=5-m；直线方程：y=x-2
因为两者相交，所以
(x-1)^2+(x-2+2)^2=5-m,即2x^2-2x+m-4=0
所以x1+x2=1,x1*x2=(m-4)/2
又因为三角形OPQ是等腰直角三角形，所以
OP^2+OQ^2=PQ^2,即2r^2=PQ^2
2*(5-m)=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2,又因为y=x-2
2*(5-m)=(x1-x2)^2+(x1-2-x2+2)^2
5-m=(x1-x2)^2
5-m=(x1+x2)^2-4x1x2，代入x1+x2=1,x1*x2=(m-4)/2
5-m=1-2m+8，得
m=4