Question

(x+1)/根号(x^2+x+1)dx，求不定积分

Answer 1

(x+1)/根号(x^2+x+1)dx的不定积分是√(x + x + 1) + (1/2)ln|2x + 1 + 2√(x + x + 1)| + C。

∫ (x + 1)/√(x² + x + 1) dx

= ∫ (x + 1)/√[(x + 1/2)² + 3/4] dx

令x + 1/2 = (√3/2)tanz,dx = (√3/2)sec²z dz

tanz = (2x + 1)/√3,secz = √[1 + (4x² + 4x + 1)/3] = 2√(x² + x + 1)/√3

= ∫ [(√3/2)tanz - 1/2 + 1]/|(√3/2)secz| * (√3/2)sec²z dz

= ∫ [(√3/2)tanz + 1/2] * secz dz

= (1/2)∫ (√3secztanz + secz) dz

= (√3/2)secz + (1/2)ln|secz + tanz| + C

= (√3/2) * 2√(x² + x + 1)/√3 + (1/2)ln|2√(x² + x + 1)/√3 + (2x + 1)/√3| + C

= √(x² + x + 1) + (1/2)ln|2x + 1 + 2√(x² + x + 1)| + C

所以(x+1)/根号(x^2+x+1)dx的不定积分是√(x + x + 1) + (1/2)ln|2x + 1 + 2√(x + x + 1)| + C。

扩展资料：

1、分部积分法的形式

（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

2、不定积分公式

∫mdx=mx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫e^xdx=e^x+C。

Answer 2

∫ (x + 1)/√(x² + x + 1) dx

= ∫ (x + 1)/√[(x + 1/2)² + 3/4] dx

令x + 1/2 = (√3/2)tanz,dx = (√3/2)sec²z dz

tanz = (2x + 1)/√3,secz = √[1 + (4x² + 4x + 1)/3] = 2√(x² + x + 1)/√3

= ∫ [(√3/2)tanz - 1/2 + 1]/|(√3/2)secz| * (√3/2)sec²z dz

= ∫ [(√3/2)tanz + 1/2] * secz dz

= (1/2)∫ (√3secztanz + secz) dz

= (√3/2)secz + (1/2)ln|secz + tanz| + C

= (√3/2) * 2√(x² + x + 1)/√3 + (1/2)ln|2√(x² + x + 1)/√3 + (2x + 1)/√3| + C

= √(x² + x + 1) + (1/2)ln|2x + 1 + 2√(x² + x + 1)| + C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

∫ (x + 1)/√(x² + x + 1) dx
= ∫ (x + 1)/√[(x + 1/2)² + 3/4] dx
令x + 1/2 = (√3/2)tanz，dx = (√3/2)sec²z dz
tanz = (2x + 1)/√3，secz = √[1 + (4x² + 4x + 1)/3] = 2√(x² + x + 1)/√3
= ∫ [(√3/2)tanz - 1/2 + 1]/|(√3/2)secz| * (√3/2)sec²z dz
= ∫ [(√3/2)tanz + 1/2] * secz dz
= (1/2)∫ (√3secztanz + secz) dz
= (√3/2)secz + (1/2)ln|secz + tanz| + C
= (√3/2) * 2√(x² + x + 1)/√3 + (1/2)ln|2√(x² + x + 1)/√3 + (2x + 1)/√3| + C
= √(x² + x + 1) + (1/2)ln|2x + 1 + 2√(x² + x + 1)| + C

追问

这个答案网上有，我看过了，确实很巧妙，我在想有没有其他类型的换元法，我试了很久了。。。。。还是说，只有这一种能解出来呢，请教大神

追答

这种是最好的方法了。
另外一种僦是套用积分公式。
∫ dx/√(a² + x²) = ln|x + √(a² + x²)| + C
不过这公式还是透过用三角函数换元推导的。
一般若根号下是个二次多项式，都用这种三角函数换元，以消除根号。

Answer 4

原式=1/2∫1/√(x^2 x 1)d(x^2 x 1) 十1/2∫1/√(x 1/2)^2 3/4d(x 1/2)。。。如上所述即可求解～（自己打的，不知道你看不看得清楚，忘采纳~）