Question

代数式丨x-1丨-丨x-2丨+丨x-3丨-丨x-4丨+...+丨x-99丨-丨x-100丨最大值是

Answer 1

当x<=1或x>=100时对应的值为-50和50。又：
丨x-1丨-丨x-2丨+丨x-3丨-丨x-4丨+...+丨x-99丨-丨x-100丨=|x-1|-|2-x|+...+|x-99|-|100-x|<=|x-1+2-x+...+x-99+100-x|=50。等号成立当且仅当x>=100。这表明50是其最大值。
你也可以考虑当k<=x<=k+1(k在1,2```99内)把绝对值符号打开。当k是偶数时。有：
x-1-(x-2)+...(x-k+1)-(x-k)+(k+1-x)-(k+x-x)+...+(99-x)-(100-x)
=k/2-(100-k)/2=k-50;
k是奇数时有：
x-1-(x-2)+...(x-k-2)-(x-k-1)+(x-k)-(k+1-x)+...+(99-x)-(100-x)

=(k-1)/2-(100-k+1)/2+2+2x-2k-1=(k-1)-50+2x-2k+2;
最大值为：(k-1)-50+2=k+1-50
当x<=1或x>=100时对应的值为-50和50。可以发现最大值为50，最小值为-50。