Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4)O(0,0)B(2,0)三点，若点M是抛物线对称轴上的一点

求AM+OM的最小值

Answer 1

我只能告诉你方法，，，，手头没有笔没法算
根据三个点可以求出来abc的值，然后就可以知道对称轴，y=-b/2a
因为求am和om的最小值，就是在ao的中垂线上的点
根据a和o的坐标可以求出来ao中垂线（先求出来中点坐标，然后求出来ao的斜率，就知道中垂线斜率了，带进去就是中垂线方程）
两个方程一连，得到的xy的值就是m

Answer 2

解：（1）由OB=2，可知B（2，0），
将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，
得
-4=4a-2b+c0=4a+2b+c0=c
解得：a=-
1
2
，b=1，c=0
∴抛物线的函数表达式为y=-
1
2
x2+x．
答：抛物线的函数表达式为y=-
1
2
x2+x．
（2）由y=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
，
可得，抛物线的对称轴为直线x=1，
且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，
连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．
∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=4
2
∴MO+MA的最小值为4
2
．
答：MO+MA的最小值为4
2
．
（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，
由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．
②若OA∥BP，
设直线OA的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，
∴直线BP的表达式为y=2x-4
由
y=2x-4y=-12x2+x
，解得x1=-4，x2=2（不合题意，舍去）
当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．
③若AB∥OP，
设直线AB的表达式为y=kx+m，则
-4=-2k+m0=2k+m
，
解得
k=1m=-2
，∴AB的表达式为y=x-2．
∵AB∥OP，
∴直线OP的表达式为y=x．
由
y=xy=-12x2+x
，得 x2=0，解得x=0，
（不合题意，舍去），此时点P不存在．
综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）
使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．
答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，-4）或（-4，-12）．

Answer 3

：（1）由OB=2，可知B（2，0），
将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，
得
-4=4a-2b+c0=4a+2b+c0=c
解得：a=-
1
2
，b=1，c=0
∴抛物线的函数表达式为y=-
1
2
x2+x．
答：抛物线的函数表达式为y=-
1
2
x2+x．
（2）由y=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
，
可得，抛物线的对称轴为直线x=1，
且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，
连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．
∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=4
2
∴MO+MA的最小值为4
2
．
答：MO+MA的最小值为4
2
．
（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，
由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．
②若OA∥BP，
设直线OA的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，
∴直线BP的表达式为y=2x-4
由
y=2x-4y=-12x2+x
，解得x1=-4，x2=2（不合题意，舍去）
当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．
③若AB∥OP，
设直线AB的表达式为y=kx+m，则
-4=-2k+m0=2k+m
，
解得
k=1m=-2
，∴AB的表达式为y=x-2．
∵AB∥OP，
∴直线OP的表达式为y=x．
由
y=xy=-12x2+x
，得 x2=0，解得x=0，
（不合题意，舍去），此时点P不存在．
综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）
使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．
答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，-4）或（-4，-12）．