Question

已知角abc为三角形abc的三内角,其对边分别为a,b,c,若a^2=b^2+c^2+bc且a=2

Answer 1

(1)
已知a²=b²+c²+bc……………………………………………………（1）
所以，-bc=b²+c²-a²
由
余弦定理
有：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(-bc)/(bc)=-1/2
所以，A=120°
S△ABC=(1/2)bcsinA=√3
===>
(1/2)bc*(√3/2)=√3
===>
bc=4
由(1)式得到：12=b²+c²+bc
===>
b²+c²=12-bc=12-4=8
===>
(b+c)²-2bc=8
===>
(b+c)²=8+2bc=8+8=16
===>
b+c=4
(2)
已知a=2√3，且由(1)知A=120°
所以：B+C=60°
由
正弦定理
有：a/sinA=b/sinB=c/sinC
===>
2√3/(√3/2)=b/sinB=c/sinC
===>
b=4sinB，c=4sinC
所以，b+c=4(sinB+sinC)
=4*[2sin(B+C)/2*cos(B-C)/2]
=8*sin30°*cos[(B-C)/2]
=4cos[(B-C)/2]
因为B+C=60°，则B-C∈(-60°，60°)
(B-C)/2∈(-30°，30°)
所以，cos[(B-C)/2]∈(√3/2,1]
则，b+c∈(2√3,4]

Answer 2

解：1﹥∵b^2+c^2=a^2+bc
∴cos∠a=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=0.5∴a=60º
∴原式=2sinbcosc-sin（b-c）
=2sinbcosc-（sinbcosc-sinccosb）
=sinbcosc+sinccosb
=sin（b+c）=sina=sin60º=√3/2
2＞∵a=2∴b²+c²=a²+bc=4+bc
∴(b+c)²-4=3bc≤3(b+c)²/4
∴(b+c)²≤16b+c≤4
∴a+b+c≤6
故三角形abc周长的最大值为6