Question

急！求过程！已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R。⑴若函数f ﹙x﹚在[2, ﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围⑵

已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R1
⑴若函数f ﹙x﹚在[2, ﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围
⑵若函数f ﹙x﹚在[1,e ]上的最小值为3,求实数a的值赞

Answer 1

(1)因为f'(x)=1/x-2a/x^2,函数f ﹙x﹚在[2, ﹢∞)上是增函数
所以f'(x)=1/x-2a/x^2>=0
所以x-2a>=0
所以a<=x/2 (x>=2)
令g(x)=x/2,则g(x)最小值=1
所以a<=1
(2)令f'(x)=1/x-2a/x^2>0得x>2a
令f'(x)=1/x-2a/x^2<0得x<2a
所以f ﹙x﹚在（0,2a)上是增函数，在（2a,﹢∞)上是减函数
当0<2a<1,即o<a<1/2,f(x)最小值=f(1)=ln1+2a=2a=3,a=3/2,不符合
当1<=2a<=e,即1/2<=a<=e/2,f(x)最小值=f(2a)=ln2a+2a/2a=ln2a+1=3,a=e^2/2,不符合
当2a>=e,即a>=e/2,f(x)最小值=f(e)=lne+2a/e=1+2a/e=3,a=e
所以a=e