Question

急！求过程！已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R。⑴若函数f ﹙x﹚在[2, ﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围⑵

已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R
⑴若函数f ﹙x﹚在[2, ﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围
⑵若函数f ﹙x﹚在[1,e ]上的最小值为3,求实数a的值

Answer 1

首先对函数求导
1)f'(x)=1/x-2a/x^2
令f'(x)>=0,即1/x-2a/x^2>=0，化简得（x-2a)x^2>=0
得x>=2a.
函数f ﹙x﹚在[2, ﹢∞)上是增函数,故需保证2a<=2,即a<=1
2)已经求得函数在(0,2a)递减，[2a,﹢∞)递增
在[1,e ]上
当2a<=1,即a<=1/2时,
f ﹙x﹚min=f(1)=2a=3,求得a=3/2>1/2,故舍去；
当1<2a<=e，即1/2<a<e/2时
f ﹙x﹚min=f(2a)=ln2a+1=3,求得a=e^2/2,显然a不符合；
当2a>e,即a>e/2时，
f ﹙x﹚min=f(e)=1+2a/e=3，求得a=e;
综合三种情况，a=e