Question

若函数y=f(x)的值域是[1/2，3]，则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是？

Answer 1

函数y=f(x)的值域是[1/2,3],
f(x)>0
F(x)=f(x)+1/f(x)>=2
当且仅当f(x)=1/f(x)，即f(x)=1
(负舍）时成立!
所以f(x)的最小值为：2
证明下单调性！
对于f(x)=x+1/x
(x>1)
设1<x1<x2<+无穷
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x1x2>1
1-x1x2>0
函数在x>0时，单调递增！
对于f(x)=x+1/x
(0<x<1)
设0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x1x2<1
1-x1x2<0
函数在0<x<1时，单调递减！
这样我们就知道了F(f(x))在〔1/2,1)上单调递减！在（1，3]上单独递增！
所以最大值在f(x)=1/2时或者＝3时
f(x)=1/2
F(x)=1/2+2=5/2
f(x)=3
F(x)=3+1/3=10/3
所以最大值为10/3
所以值遇为[2,
10/3]。