Question

在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,CE⊥AB于E

设∠ABC=α（60°≤α＜90°）
（1）当α=60°时，求CE的长
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。
②连接CF，当BE为何值时，CE²-CF²取最大值。

Answer 1

∵α=60°，BC=10，
∴sinα=
CE
BC
，
即sin60°=
CE
10
=
3
2
，
解得CE=5
3
；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△CFD中，
∠G=∠DCF∠AFG=∠DFC(对顶角相等)AF=FD
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=
1
2
AD=
1
2
BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，
∵CF=GF（①中已证），
∴CF2=（
1
2
CG）2=
1
4
CG2=
1
4
（200-20x）=50-5x，
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-
5
2
）2+50+
25
4
，
∴当x=
5
2
，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值，
此时，EG=10-x=10-
5
2
=
15
2
，
CE=
100-x2
=
100-254
=
515
2
，
所以，tan∠DCF=tan∠G=
CE
EG
=
5152
152
=
15
3 ．

Answer 2

（1）∵在RT△BCE中，cos（α=BC/CE
∴CE=BC/cos(α=10/cos（60°=10/（根号3/2）=5倍的根号3
懒得做了原谅我~……

追问

看你那么有诚意 就原谅你吧 ~~ ( * ^ _ ^ * ) 嘻嘻……

（唉！ 数学白痴不好做呀~~~）