Question

如图，已知，AB=AC，角BAC=90度，BE平分角ABC，CE垂直BE于E，求证：CE=二分之一BD

Answer 1

证明;：延长CE与BA的延长线相交于点F
因为角BAC=90度
AB=AC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以角ABC=45度
因为BE平分角ABC
所以角ABD=1/2角ABC
所以角ABD=角CBE=22.5度
因为角ABD+角BAC+角ADB=180度
所以角ADB=67.5度
因为BE垂直EC
所以角BEF=角BEC=90度
因为角ABE=角CBE=22.5度
因为BE=BE
所以三角形ABE和三角形CBE全等（ASA)
所以CE=EF=1/2CF
因为角F+角ABD+角BEF=180度
所以角F=67.5度
所以角ADB=角F=67.5度
因为角BAC+角CAF=180度
所以角CAF=90度
所以角BAD=角CAF=90度
因为AB=AC
所以三角形BAD和三角形CAF全等（AAS)
所以BD=CF
所以CE=1/2BD

Answer 2

由于∠CDE=∠ADB，且∠E=∠A=90度。所以三角形相似。
则有CE/AB=CD/BD。CE/CD=AB/BD
由点D向BC做垂线交于点F。由于BE是角平分线，所以DF=AD。
由题意可知，三角形ABC为直角等腰三角形，所以∠ACB=45度。所以CD=√2AD。
则AB=AC=(1+√2)AD
BD^2=AB^2+AD^2=(1+2√2+2)AD^2+AD^2=2√2(1+√2)AD^2=√2(1+√2)CD^2
CE^2/CD^2=AB^2/BD^2=(3+2√2)/2√2(1+√2)
等号两边同时除以√2(1+√2)，得
CE^2/√2(1+√2)CD^2=(3+2√2)/2√2(1+√2)/√2(1+√2)
CE^2/BD^2=(3+2√2)/4(3+2√2)=1/4
CE/BD=1/2
所以CE=1/2BD

Answer 3

证明:延长CE交BA的延长线于点F
∵∠BAC=90
∴∠ABD+∠ADB=90, ∠CAF=∠BAC=90
∵∠CDE=∠ADB
∴∠ABD+∠CDE=90
∵BE⊥CE
∴∠BEC=∠BEF=90
∴∠ACF+∠CDE=90
∴∠ABD=∠ACF
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACF (ASA)
∴BD=CF
∵BE平分∠ABC
∴∠CBE=∠FBE
∵BE=BE
∴△CBE≌△FBE (ASA)
∴CE=EF=CF/2
∴CE=BD/2

Answer 4

证明:延长CE,交BA的延长线于F.
∠CBE=∠FBE;BE=BE;∠BEC=∠BEF=90度.则⊿BEC≌ΔBEF(ASA),得CE=FE.
∠ABD=∠ACF(均为角F的余角);∠BAD=∠CAF=90度;AB=AC.则⊿BAD≌ΔCAF(ASA).
得:BD=CF=CE+FE=2CE,故CE=(1/2)*BD.

Answer 5

画图
过D做DH垂直BC于H，所以DH=AD
CD=根号2*DH=根号2*AD

CE=根号2*AD 除以cos22.5°
BD=AD除以sin22.5°

所以证明的结果是。。。
其他方法不好证明，我就用计算的了。。。