Question

高等数学函数极值的必要条件

已知函数有二阶导数，且在某点取得极大值，为什么二阶导数在该点是小于等于零的呢？？？怎么还有等于的情况？？？不是说二阶导数等于零的时候不能确定是不是极值么？？

Answer 1

　　看来你还没有把函数极值的必要条件和充分条件搞清楚。
　　必要条件是：若f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f'(x0)=0.
　　充分条件有两个：
　　1.f(x)在x0连续，在x0的去心邻域内可导，f'(x0-0)>0,f'(x0+0)<0,f(x0)是极大值；f'(x0-0)<0,f'(x0+0)>0,f(x0)是极小值。
　　2.函数有二阶导数，且f'(x0)=0,f''(x0)≠0,则若f''(x0)<0,f(x0)是极大值；若f''(x0)>0,f(x0)是极小值。
　　你是说的结果，是其逆命题，而逆命题是不成立的。取得极大值的点，其二阶导数在该点是可能小于等于零；同样取得极小值的点，其二阶导数在该点是可能大于等于零。这恰好证明二阶导数等于0时，函数的值可能是极大值，也可能是极小值，还可能不是极值。也就是说不能确定。

追问

也就说，等于二导零虽然不能确定是极值，但是只要有可能就要写上，以防漏掉，是吧？？

追答

既然是判定定理，就应该是肯定地叙述，如上述2，
函数有二阶导数，且f'(x0)=0,f''(x0)≠0,则若f''(x0)0,f(x0)是极小值。

而不要反过来说。因为这属于正命题成立，逆命题不成立的情况，一定要正说。

追问

我去，点错了，本来想点追问的，点了取消推荐了，不好意思。可是，有一道题说，函数在M点处取得极大值，问函数的二导在M处的符号情况，答案是小于等于零啊，不对么？

追答

要有主见，不要迷信答案，答案只能是参考答案，特别是现在的书，错误很多。
你认为我说的对，就采纳！

追问

要是是二元函数呢？极大值点的二阶偏导数（不包括混合偏导数）是什么情况？

追答

看看书吧，必须包括混合偏导，A=f''xx B=f''xy C=f''yy 根据AC-B^2的情况判断。

追问

我知道要判断极值需要A=f''xx B=f''xy C=f''yy 根据AC-B^2的情况判断，不过，这个题是已知取得极值让判断二阶偏导数（不包括混合偏导数）的符号，是反过来了的

追答

你到底是一元函数还是二元函数？怎能混为一谈？