Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,求异面直线A1C与AB所成教的正切值。

Answer 1

∵CD//AB,
∴<DCA1与异面直线A1C与AB所成角相等,
CD=1,
A1D=√(AD^2+AA1^2)=√5,
A1C=√(AB^2+BC^2+AA1^2)=√6,
CD^2+A1C^2=6=A1C^2,
根据勾股定理逆定理,△A1DC是RT△,
∴tan<DCA1=A1D/CD=√5.
∴异面直线A1C与AB所成角正切值为√5.

第二种方法,
∵CD⊥平面ADD1A1,A1D∈平面ADD1A1,
∴CD⊥A1D,即<A1DC=90°,
∴△CDA1是RT△,
CD=1,A1D=√(1^2+2^2)=√5,
∴tan<DCA1=A1D/CD=√5,
∵CD//AB,
∴<DCA1和异面直线A1C与AB所成角相等,
∴异面直线A1C与AB所成角正切值为√5.

追问

A1D=√(AD^2+AA1^2)=√5,
A1C=√(AB^2+BC^2+AA1^2)=√6,

是如何求出的？（用什么公式）

追答

勾股定理，〈A1AD=90°，△A1AD是RT△，〈A1AC=90°，（AA1⊥平面ABCD，AC∈平面ABCD，∴AA1⊥AC）,AC^2=AB^2+BC^2=√2，∴A1C=√AA1^2+AC^2)=√（4+2）=√6。