Question

线性代数：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示？α1

Answer 1

A = (a1,a2,a3,a4) =

[1 2 -1 3]

[0 1 0 1]

[1 1 0 1]

[0 2 0 2]

行初等变换为

[1 1 0 1]

[0 1 -1 2]

[0 1 0 1]

[0 2 0 2]

行初等变换为

[1 1 0 1]

[0 1 -1 2]

[0 0 1 -1]

[0 0 2 -2]

行初等变换为

[1 1 0 1]

[0 1 -1 2]

[0 0 1 -1]

[0 0 0 0]

则向量组的秩为3,a1,a2,a3 为一个极大线性无关组.

再行初等变换为

[1 1 0 1]

[0 1 0 1]

[0 0 1 -1]

[0 0 0 0]

行初等变换为

[1 0 0 0]

[0 1 0 1]

[0 0 1 -1]

[0 0 0 0]

得 a4=a2-a3

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

Answer 2