Question

lnx从0到1的定积分

Answer 1

结果为：-1
解题过程如下：
原式=x*lnx-∫（1/x)*xdx
=xlnx-x+lnx
dx
=∫
[0,1]
lnx
dx
=xlnx
[0,1]-∫
[0,1]
x*(1/x)
dx
=0-∫
[0,1]
1
dx
=-1
扩展资料
求函数积分的方法：
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论，如果两个
上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。
如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

因为lnx在0处无定义，这是一个瑕积分，首先用分部积分法，下面[0,1]表示0为下限，1为上限
∫
[0,1]
lnx
dx=xlnx
[0,1]-∫
[0,1]
x*(1/x)
dx=0-∫
[0,1]
1
dx=-1
注意：这里面涉及到一个极限，lim
(x趋于0+)
xlnx，该极限虽然是0乘无穷大形，但可以直接写0，因为幂函数速率比对数快。
如果要计算，用洛必达法则：lim
(x趋于0+)
xlnx=lim
(x趋于0+)
lnx/x^(-1)=lim
(x趋于0+)
-(1/x)/x^(-2)
lim
(x趋于0+)
-x=0