设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关。

证明:(1)α4可由α1α2α3线性表示(2)α1不能由α2α3α4线性表示。... 证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示。 展开
匿名用户
推荐于2016-12-02
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(1)
a1,a2,a3线性无关,所以对于实数x,y,z,若xa1+ya2+za3=0,则x=y=z=0.....(*)
a2,a3,a4线性相关,所以存在不全为零的实数u,v,w,使得ua2+va3+wa4=0
若w=0,则ua2+va3=0,由(*)知,u=v=0,矛盾!
所以有w≠0,a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,即a4可由a1,a2,a3线性表示
(2)
若a1可由a2,a3,a4线性表示,则不妨设a1=pa2+qa3+ra4,p,q,r∈R
又a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,带入有
a1=(p-ru/w)a2+(q-rv/w)a3,这与a1,a2,a3线性无关矛盾!
所以a1不能由a2,a3,a4线性表示
陈岑程
2012-12-01 · TA获得超过965个赞
知道小有建树答主
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证明:(1)因为向量组α2 α3 α4线性相关,所以向量组α1 α2 α3 α4线性相关
所以k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,其中k1234不全为0
如果k4等于0,即k1α1+k2α2+k3α3=0,与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾
(2)向量组α2 α3 α4线性相关,向量组α1 α2 α3线性无关,所以α4可以由α2 α3 线性表示
如果α1能由α2 α3 α4线性表示,即是说α1能由α2 α3线性表示,与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾
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凤艾完颜听露
2020-06-09 · TA获得超过3863个赞
知道大有可为答主
回答量:3137
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帮助的人:216万
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向量组α1,α2,α3,α4,α5线性相关,则r(α1,α2,α3,α4,α5)<5;
向量组α2,α3,α4,α5线性无关,则r(α2,α3,α4,α5)=4;
又有r(α1,α2,α3,α4,α5)≥r(α2,α3,α4,α5)
所以,4≤r(α1,α2,α3,α4,α5)<5,
所以,r(α1,α2,α3,α4,α5)=4
即向量组α1,α2,α3,α4,α5的极大无关组有4个向量,
而向量组α2,α3,α4,α5线性无关,
所以,向量组α2,α3,α4,α5线性无关是向量组α1,α2,α3,α4,α5的极大无关组.
故选:d.
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