Question

证明方程2^x * x -1=0至少有一个小于1的正根。

Answer 1

证明：方程x-2^x=1
至少有一个小于1的正根
证明：∵方程x-2^x=1
设f(x)=x-2^x-1
令f’(x)=1-2^xln2=0==>2^x=1/ln2==>x=ln(1/ln2)/ln2=-ln(ln2)/ln2
f’’(x)=-2^x(ln2)^2<0
∴函数f(x)在x=-ln(ln2)/ln2处取极大值
f(-ln(ln2)/ln2)=
[-ln(ln2)-ln2-1]/ln2<0
即函数f(x)图像与x轴无交点
即方程x-2^x=1无解
此题有误

Answer 2

设f(x)=x*2^x-1
因为：2^x>0在R上恒成立
所以：x<0时,f(x)=x*2^x-1<1恒成立
所以：f(x)在x<0时不存在零点
x>0时,x和2^x都是增函数
所以：f(x)=x*2^x-1是增函数
f(0)=0-1=-1<0
f(1)=2-1=1>0
所以：f(x)=x*2^x-1在（0,1）上存在唯一的一个零点
所以：x*2^x=1至少存在一个小于1的正根