Question

函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]属于D，是f(x) 在[a,b]上的值域为[-b,-a]

那么y=f(x)叫做对称函数，若f(x)=根号下(2-x)-k是对称函数，那么k的取值范围是？

Answer 1

分析： 函数 f(x)=
2-x -k 在定义域（-∞，2]上是减函数，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，由此推出 a和 b 是方程
2-x -k=-x 在（-∞，2]上的两个根．利用换元法，转化为∴k=-t 2 t 2=-（t-
1
2 ） 2
9
4 在[0， ∞）有两个不同实根，解此不等式求得 k 的范围即为所求．
解答： 解：由于 f(x)=
2-x -k 在（-∞，2]上是减函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，
∴所以
2-a -k=-a
2-b -k=-b ⇒ a和 b 是关于x的方程
2-x -k=-x 在（-∞，2]上有两个不同实根．
令t=
2-x ，则x=2-t 2 ，t≥0，
∴k=-t 2 t 2=-（t-
1
2 ） 2
9
4 ，
∴k的取值范围是 k∈[2，
9
4 ) ，
故答案为： [2，
9
4 ) ．
点评： 本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程
2-x -k=-x 在（-∞，2]上的两个根，是解题的难点，属中档题．