Question

证明柯西极限存在法则的充分性

请解答：

Answer 1

首先,证明满足条件的任何数列必有界.
从所设条件,取e>1,必有一正整数N。,当m,n>N。时,有
|xn-xm|<1.
特别地,当n>N。且m=N。+1时,有|xn-x(N。+1)|<1
(N。+1)是下标,(nk)也是.
从而当n>N。时,有
|xn|<=|xn-x(N。+1)|+|x(N。+1)|<1+|x(N。+1)|
这就证明了{xn}的有界性,故{xn}必有收敛的子列{x(nk)}.
设lim<k->∞>x(nk)=a,
根据子列收敛定义,对任意给定的e>0,必有正整数K,
当k>K时,有|x(nk)-a|<e
取一正整数K。=max(K+1,N+1).
于是K。>K,且n(K。)>=n(N+1)>=N+1>N.
因此,当n>N时,由已知条件有
|xn-x(nK。)|<e,
所以|xn-a|<=|xn-x(nK。)|+|x(nK。)-a|<e+e=2e,
即lim<n->∞>xn=a.