Question

函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]属于D，是f(x) 在[a,b]上的值域为[-b,-a]

那么y=f(x)叫做对称函数，若f(x)=根号下(2-x)-k是对称函数，那么k的取值范围是？

Answer 1

由定义知：f(x)=√(2-x)-k的定义域D=(-∞,2]，值域为[-k,+∞)
由对称函数的定义知√(2-a)-k=-b，√(2-b)-k=-a，移项后平方可得：
2-a=k²-2kb+b²
2-b=k²-2ka+a² 两个等式做差得：
b-a=-2k(b-a)+b²-a² 两边同除b-a得：1=-2k+b+a 得k=(a+b-1)/2
而a<b≤2，则k<1.5。
所以k的取值范围是(-∞，1.5)。