(1)如图,AD∥BC,∠A=90°,∠DCB的角平分线CE与∠ADC的角平分线DE恰好相交于AB上的点E。请猜想CD,AD
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在CD上取点F,使CF=BC,连接EF、ED,
因为
CE为∠BCD的
平分线
,CF=BC
所以
三角形CEB
全等三角形
CEF
所以
∠CBE=∠CFE,EF=EB
因为
AE=BE,所以EF=AE
因为
AD//BC,所以
∠EAD+∠CBE=180度
又因为
∠CFE+∠EFD=180度
所以
∠EAD=∠EFD
所以
三角形EAD全等三角形EFD
所以
DF=DA
所以
CD=CF+DF=AD+BC
因为
CE为∠BCD的
平分线
,CF=BC
所以
三角形CEB
全等三角形
CEF
所以
∠CBE=∠CFE,EF=EB
因为
AE=BE,所以EF=AE
因为
AD//BC,所以
∠EAD+∠CBE=180度
又因为
∠CFE+∠EFD=180度
所以
∠EAD=∠EFD
所以
三角形EAD全等三角形EFD
所以
DF=DA
所以
CD=CF+DF=AD+BC
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(1)证明:∵de是∠adc的角平分线,
∴∠1=∠2,
在平行四边形abcd中,ad∥bc,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴cd=ce;
(2)解:∵ab∥cd,
∴∠bad+∠adc=180°,
∴
1
2
∠bad+
1
2
∠adc=90°,
又∵∠1=
1
2
∠adc,在直角△ade中,∠ead+∠1=90°,
∴∠ead=
1
2
∠bad,
即ae是∠bad的平分线.
同(1)可得be=ab=cd=5,
作ef∥cd,则f是ad的中点,
又∵ad∥bc,ec=cd,
∴四边形efdc是菱形.
∴de⊥cf,dg=
1
2
de=4,
在直角△cdg中,cg=
cd2?dg2
=
52?42
=3.
∴cf=2cg=6,
∴菱形efdc的面积是:
1
2
de?cf=
1
2
×8×6=24,
∴四边形abcd的面积是2×24=48.
∴∠1=∠2,
在平行四边形abcd中,ad∥bc,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴cd=ce;
(2)解:∵ab∥cd,
∴∠bad+∠adc=180°,
∴
1
2
∠bad+
1
2
∠adc=90°,
又∵∠1=
1
2
∠adc,在直角△ade中,∠ead+∠1=90°,
∴∠ead=
1
2
∠bad,
即ae是∠bad的平分线.
同(1)可得be=ab=cd=5,
作ef∥cd,则f是ad的中点,
又∵ad∥bc,ec=cd,
∴四边形efdc是菱形.
∴de⊥cf,dg=
1
2
de=4,
在直角△cdg中,cg=
cd2?dg2
=
52?42
=3.
∴cf=2cg=6,
∴菱形efdc的面积是:
1
2
de?cf=
1
2
×8×6=24,
∴四边形abcd的面积是2×24=48.
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