Question

正多边形面积计算公式是？

Answer 1

设正n边形的面积为S，
则，S=(1/2)nR^2*sinα=nr^2tan（α/2)
式中，n--边数，R--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，α--一边所对的圆心角（以度计）
证明也很简单。
正n边形可分割成n割等腰三角形，按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积，当然有点技巧。
现证明如下。
(1)
设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
连接OA、OB,得一三角形AOB，其面积为：S'AOB
则，S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)
且，AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2)
故，S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2)
S'△AOB=(1/2)R^2sinα
正n边形的面积S=n*S△AOB
故，S=(1/2)nR^2sinα
（2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积S
证：因r是圆O的外切正多边形的边心距，也是△AOB的AB上的高（r)
S''△AOB=(1/2)*AB*r
此时
，AB/2=rtan(α/2),故AB=2rtan(α/2)
S''△AOB=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)
故，正n边形的面积S=n*S''△AOB=nr^2*tan(α/2)