Question

数列问题，求解

.已知数列{an}中，a1=1,且点P（an,an+1)(n∈N+)在一次函数y=x+1的图像上。
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若函数f(n)=1/(n+a1)+1/(n+a2)+…+1/(n+an)(n∈N+,n≥2),求函数f(n)的最小值；
(3)设bn=1/an,Sn表示数列{bn}的前n项和。试问：是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)对一切不小于2的自然数n均成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
1.
x=an y=a(n+1)代入函数方程
a(n+1)=an +1
a(n+1)-an=1，为定值。
a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列
an=1+(n-1)=n
数列{an}的通项公式为an=n
2.
f(n)=1/(n+a1)+1/(n+a2)+...+1/(n+an)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)
f(n+1)=1/[(n+1)+1]+1/[(n+1)+2]+...+1/[(n+1)+(n-1)]+1/[(n+1)+n]+1/[2(n+1)]
=1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n+2)
f(n+1)-f(n)=1/(2n+1)+ 1/(2n+2) -1/(n+1)
=1/(2n+1) -1/(2n+2)>0
f(n+1)>f(n)，即随n增大，f(n)单调递增。
当n=1时，f(n)有最小值[f(n)]min=1/(1+1)=1/2
3.
Sn=b1+b2+...+bn=1/1+1/2+...+1/n
S1+S2+...+S(n-1)
=(n-1)/1 +(n-2)/2+...+[n-(n-1)]/(n-1)
=n/1 +n/2+...+n/(n-1) -[1/1+2/2+...+(n-1)/(n-1)]
=n[1+1/2+...+1/(n-1)]-(n-1)
=n[1+1/2+...+1/(n-1)+1/n] -n
=n(1+1/2+...+1/n -1)
=n(1/2+1/3+...+1/n)

g(n)=[S1+S2+...+S(n-1)]/(Sn -1)
=n(1/2+1/3+...+1/n)/(1+1/2+1/3+...+1/n -1)
=n(1/2+1/3+...+1/n)/(1/2+1/3+...+1/n)
=n

存在关于n的整式g(n)使得等式对于一切不小于2的自然数n恒成立，g(n)的解析式为g(n)=n。