Question

设函数f(x)=x^2+ aln(1+x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2。求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；

下面是解题过程：
由已知，f(x)的定义域为(-1，+∞)，
对f(x)求导，得f′(x)=2x+a/(1+x)，x> -1。
f(x)有两个极值点x1与x2，且x1<x2，所以，f′(x)=0有两个不等的实根x1与x2，且 -1<x1<x2。 f′(x)=0 就是(2x^2 +2x+a)/(1+x) =0 ，x>-1 ，
也就是2x^2 +2x+a=0，x> -1：
所以，得到不等式组：
(1), 2^2 - 8a>0
(2), (x1+1)+(x2+1)>0
(3), (x1+1)(x2+1)>0

请问各位，在这些不等式中(2)和(3)是怎样得到的？从哪得来的？他们起的作用是什么？谢谢~

Answer 1

f(x)有两个极值点x1与x2，且x1<x2，所以，f′(x)=0有两个不等的实根x1与x2，且 -1<x1<x2。
因为 -1<x1 所以 x1+1>0
同理 -1<x2 所以 x2+1>0
所以得到（2） (x1+1)+(x2+1)>0
且得到 (3), (x1+1)(x2+1)>0

追问

谢谢，我还想问下。既然题目中已经说了“ f′(x)=0有两个不等的实根x1与x2，且 -10和x2+1>0加在一起呢？特别是(2)，会不会有些多余？

追答

这种理解不对
因为如果只有（1）说明 方程2x^2 +2x+a=0有两个不相等的实数根 【 得到a的范围（1）】
而不能保证两个根满足 x1,x2>-1
(3), (x1+1)(x2+1)>0 保证两根位于-1的同一侧，即都大于-1或者都小于-1
即x1+1与x2+1同号 【 得到a的范围（3）】
（2） (x1+1)+(x2+1)>0 保证两根同时位于-1的右侧
即x1+1与x2+1同正 【 得到a的范围（2）】
所以
取三者交集，从而得到a的取值范围

Answer 2

a<1/2
-1<x<x1,x>x2时,f(x)为增函数
x1<等于x<等于x2时，f（x）为减函数.
个人觉得,(2)和(3)无用处啊.

追问

谢谢，其实我也是这么感觉的，尤其是(2)。但既然参考书上写了，还是应该有它的道理。